Возможно, но вряд ли.
варежка
Происходит от неустановленной формы. Возможно уменьшит.-ласкат. форма от сущ. др.-русск.
варега «рукавица», очевидно, является суф. производным от др.-русск.
вар «преграда» от гл. др.-русск.
варити «защищать, оберегать» (см. предварить) или от прил.
варяжская (см. варяг). Использованы материалы этимологического словаря Г. П. Цыганенко;
варяг
Происходит от др.-русск.
варягъ (с IX в.). См. также буря́г, колбя́г. Ср.-греч.
βάραγγος, ср.-лат.
varangus "телохранитель, воин из наемной стражи визант. императоров" (впервые в 1034 г. у Кедрена), арабск.
varank (X–XI вв.). Сюда же русск.
варя́га, варя́жа "корзинщик, коробейник", владим., также "пройдоха, босяк, прощелыга", терск., укр.
варя́г "борец, крепкий, рослый человек", др.-русск.
Варяжьское море "Балтийское море". Заимств. из др.-сканд.
*váringr, væringr, от
vár "верность, порука, обет", т. е. "союзники, члены корпорации". Объясняют форму варяг из *varang- аналогично русск. стяг < др.-шв. stang (ср. норв. топоним Varanger-fjord). Использованы данные словаря М. Фасмера с комментариями О. Н. Трубачёва.
То есть,
1. др.-русск. вар «преграда»
2. др.-сканд. vár "верность, порука, обет", т. е. "союзники, члены корпорации".
Варежка произошла, похоже, от (1), но если всё-таки от (2) тогда да, однокоренные.
