На приведенном примере покажем, как следует решать подобные уравнения.
Надо найти значения х и у в уравнении
3x - 5y = 19,
зная при этом, что х и y - числа целые и положительные.
Уединим то неизвестное, коэффициент которого меньше, т. е. член 3x; получим:
3х = 19 + 5у,
откуда
x = (19 + 5y)/3 = 6 + y + (1 + 2y)/3.
Так как х, 6 и у - числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что (1 + 2y)/3 есть также целое число. Обозначим его буквой t. Тогда
x = 6 + y + t,
где
t = (1 + 2y)/3,
и, значит,
3t = 1 + 2y, 2y = 3t - 1.
Так как у и t - числа целые, то и (t - 1)/2 должно быть некоторым целым числом t1. Следовательно,
y = t + t1,
причем
t1 = (t - 1)/2,
откуда
2t1 = t - 1 и t = 2t1 + 1.
Значение t = 2t1 + l подставляем в предыдущие равенства:
y = t + t1 = (2t1 + 1) + t1 = 3t1 + 1,
x = 6 + y + t = 6 + (3t1 + 1) + (2t1 + 1) = 8 + 5t1.
Итак, для х и у мы нашли выражения*
x = 8 + 5t1
y = 1 + 3t1
* Строго говоря, мы доказали только то, что всякое целочисленное решение уравнения 3х - 5y = 19 имеет вид x = 8 + 5t1, y = 1 + 3t1, где t1 - некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что при любом целом t1 мы получаем некоторое целочисленное решение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.
Числа х и у, мы знаем, - не только целые, но и положительные, т. е. большие чем 0. Следовательно,
8 + 5t1 > 0,
1 + 3t1 > 0.
Из этих неравенств находим:
5t1 > -8 и t1 > -8/5,
3t1 > -1 и t1 > -1/3.
Этим величина t1 ограничивается; она больше чем -1/3 (и, значит, подавно больше чем -8/5). Но так как t1 - число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения:
t1 = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Соответствующие значения для х и у таковы:
x = 8 + 5t1 = 8, 13, 18, 23.....
у = 1 + 3t1 = 1, 4, 7, 10, ...
Теперь мы установили, как может быть произведена уплата:
вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи:
8 × 3 - 5 = 19,
либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевки:
13 × 3 - 4 × 5 = 19
и т. д.
http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/ ... t060.shtml
